Математика. Задание В.4

Задание 1

Прямая y=2·x+b касается окружности x²+ y² = 5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

Решение

1) Найдем значения b, при которых система:

имеет единственное решение.

2) Выполнив подстановку получим уравнение:

5·x² + 4·x·b +b² −5 = 0

3) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю, то есть: 

D = 4·b²−5·(b² −5) = 25−b²=0. Откуда b₁=5, b₂=−5

4) Получим уравнения двух прямых, касающихся окружности:

y=2·x+5 и y=2·x−5.

5) Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение:

5·x² + 4·x·b +b² −5 = 0

при b = 5 получим уравнение: x²+4·x+4=(х+2)²=0 откуда х=–2; этот корень не удовлетворяет условию задачи;

при b = −5 получим уравнение: x²−4·x+4=(х−2)²=0 откуда х=2; этот корень удовлетворяет условию задачи;

6) Найдем соответствующее значение у:

y=2·x−5=2·2−5 =−1.

Таким образом правильный ответ: (2; –1).

Задание 2

Постройте график функции

и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с этим графиком только одну общую точку.

Решение

Областью определения функции является множество всех чисел, кроме х = 1. Так как

то графиком данной функции является парабола y=−x²+4x−3 без точки с абсциссой, равной 1 (рисунок).

Горизонтальная прямая у=m имеет с графиком функции только одну общую точку при m = 0 и m = 1.

Таким образом, правильный ответ m = 0 и m =1.