Математика. Задание В.4
Задание 1
Прямая y=2·x+b касается окружности x2+ y2 = 5 в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.
Решение
1) Найдем значения b, при которых система:
имеет единственное решение.
2) Выполнив подстановку получим уравнение:
5·x2 + 4·x·b +b2 −5 = 0
3) Полученное уравнение имеет единственное решение, когда его дискриминант равен нулю, то есть:
D = 4·b2−5·(b2 −5) = 25−b2=0. Откуда b1=5, b2=−5
4) Получим уравнения двух прямых, касающихся окружности:
y=2·x+5 и y=2·x−5.
5) Найдем абсциссы точек касания, подставив найденные значения b в уравнение:
5·x2 + 4·x·b +b2 −5 = 0
при b = 5 получим уравнение: x2+4·x+4=(х+2)2=0 откуда х=–2; этот корень не удовлетворяет условию задачи;
при b = −5 получим уравнение: x2−4·x+4=(х−2)2=0 откуда х=2; этот корень удовлетворяет условию задачи;
6) Найдем соответствующее значение у:
y=2·x−5=2·2−5 =−1.
Таким образом правильный ответ: (2; –1).
Задание 2
Постройте график функции
и определите, при каких значениях m прямая у = m имеет с этим графиком только одну общую точку.
Решение
Областью определения функции является множество всех чисел, кроме х = 1. Так как
то графиком данной функции является парабола y=−x2+4x−3 без точки с абсциссой, равной 1 (рисунок).
Горизонтальная прямая у=m имеет с графиком функции только одну общую точку при m = 0 и m = 1.
Таким образом, правильный ответ m = 0 и m =1.