логотип

Центроид треугольника

Существование и основное свойство центроида основано на следующей теореме о пересечении медиан треугольника.

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Доказательство

Пусть A1, B1 и C1 — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно (смотри рисунок). Пусть — точка пересечения двух медиан AA1 и BB1. Докажем, что AG:GA1=BG:GB1=2.

Для этого возьмем середины P и Q отрезков AG и BG. По теореме о средней линии треугольника отрезки B1A1 и PQ равны половине стороны AB и параллельны ей. Поэтому четырехугольник A1B1PQ параллелограмм. Тогда точка G пересечения его диагоналей PA1 и QB1 делит каждую из них пополам. Следовательно, точки P и G делят медиану AA1 на три равные части, а точки Q и G делят медиану BB1 также на три равные части. Итак, точка G пересечения двух медиан треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Докажем теперь, что третья медиана CC1 содержит точку G. Согласно доказанному, точка пересечения медиан AA1 и CC1 делит каждую из них в отношении 2 : 1. На медиане AA1 такой точкой является точка G, поэтому она и будет точкой пересечения прямых AA1 и CC1. Доказательство закончено.

 


Оставить комментарий:





    Сайт создан группой Elegy