Центроид треугольника

Существование и основное свойство центроида основано на следующей теореме о пересечении медиан треугольника.

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника.

Доказательство

Пусть A₁, B₁ и C₁ — середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно (смотри рисунок). Пусть G — точка пересечения двух медиан AA₁ и BB₁. Докажем, что AG:GA₁=BG:GB₁=2.

Для этого возьмем середины P и Q отрезков AG и BG. По теореме о средней линии треугольника отрезки B₁A₁ и PQ равны половине стороны AB и параллельны ей. Поэтому четырехугольник A₁B₁PQ — параллелограмм. Тогда точка G пересечения его диагоналей PA₁ и QB₁ делит каждую из них пополам. Следовательно, точки P и G делят медиану AA₁ на три равные части, а точки Q и G делят медиану BB₁ также на три равные части. Итак, точка G пересечения двух медиан треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Докажем теперь, что третья медиана CC₁ содержит точку G. Согласно доказанному, точка пересечения медиан AA₁ и CC₁ делит каждую из них в отношении 2 : 1. На медиане AA₁ такой точкой является точка G, поэтому она и будет точкой пересечения прямых AA₁ и CC₁. Доказательство закончено.