логотип

Теорема синусов

Теорема синусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами.

Проведем радиус OD окружности, описанной около данного треугольника ABC, перпендикулярный к стороне BC (смотри рисунок). Тогда углы BAC и BOD равны, так как оба измеряются половиной дуги BC. Точка E пересечения BC и OD —середина BC. Поэтому из прямоугольного треугольника BOE получим:

a/2= R·sinA, или a=2·R·sinA, где R —радиус описанной окружности.

Аналогично получим b = 2·R·sinB и c=2·R·sinC. Отсюда:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2·R

Нетрудно проверить, что в случае, когда угол A тупой или прямой, результат будет тот же.

Для практического применения теорему синусов полезно знать и в такой формулировке: каждая сторона треугольника равна диаметру описанной около него окружности, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне. 

 

Пример задачи: Доказать, что расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных к двум сторонам треугольника из основания высоты, опущенной на третью сторону, не зависит от выбора высоты.

Решение:

Пусть CD —высота треугольника ABC, а DP и DQ — перпендикуляры к AC и BC. Из точек P и Q отрезок CD виден под прямыми углами. Поэтому эти точки принадлежат окружности с диаметром CD. По теореме синусов получим:

PQ = CD·sinACB. 

Но поскольку CD = 2·S/AB, где S —площадь треугольника ABC, то:

PQ = 2·S·sin∠ACB/AB= S/R, где R —радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Полученное выражение длины PQ действительно не зависит от высоты.

 


Оставить комментарий:





    Сайт создан группой Elegy