логотип

Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника

Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Доказательство:

Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (см. рисунок) . Построим прямую BE||CD. Тогда ∠ACD=∠AEB и ∠BCD =∠CBE, а так как ∠ACD=∠BCD, то ∠AEB=∠CBE и поэтому BC=CE. Исходя из теоремы Фалеса получим:

 AD/DB=AC/CE, т.е. AD/DB=AC/BC, что и требовалось доказать.

Обратимся теперь к биссектрисе внешнего угла треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса внешнего угла при общей вершине равных сторон параллельна третьей стороне (основанию) треугольника. В остальных
случаях биссектриса внешнего угла пересекает прямую, содержащую противоположную сторону. Точка пересечения обладает свойством, аналогичным доказанному выше:

Если биссектриса внешнего угла треугольника ABC пересекает прямую, содержащую его противоположную сторону, то расстояния от точки пересечения до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника DA/DB=AC/BC (см. рисунок)


Оставить комментарий:





    Сайт создан группой Elegy