Обозначения треугольника:

А, В, С — углы; а, Ь, с — стороны; h — высота, m — медиана; S — площадь; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; р — полупериметр.

Равносторонний треугольник

1. А=В=С=60^о
2. h=a·√3/2
3. R=a·√3/3
4. r=a·√3/6
5. S=a2·√3/4

Прямоугольный треугольник

1. a²+b²=c²; a²=c·a'; b²=c·b'; h²=a'·b'; h=a·b/c
2. S=a·b/2
3. R=c/2; r=(a+b–c)/2
4. sin A=a/c; cos A=b/c; tg A=a/b; ctg A=b/a

Произвольный треугольник

Четыре точки треугольника

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести.
2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.
3. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.
4. Перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника через их середины, пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной окружности.

Средняя линия треугольника

• Параллельна основанию
• Равна половине основания
• Делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.

Определение вида треугольника по его сторонам

Если с – наибольшая из трех сторон треугольника, то

• с²<a²+b² – треугольник остроугольный
• с²=a²+b²– треугольник прямоугольный
• с²>a²+b² – треугольник тупоугольный

Свойства

1. S=c·hc/2; S=p·r; S=a·b·sin C/2; S=√(p·(p-a)·(p-b)·(p-c))
2. R=a/2·sin A; R=a·b·c/4·S; r=S/p
3. a²=b²+c²–2·a·b·cos A
4. a/sin A=b/sin B=c/sin C=2·R

Теоремы о площади

• Если два треугольника подобны, то их площади относится как квадраты соответствующих сторон.
• Если у двух треугольников равны основания, то площади относятся как соответствующие высоты.
• Если одна высота одного треугольника равна одной высоте другого треугольника, то площади относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.