Треугольники
Обозначения треугольника:
![]() |
А, В, С — углы; а, Ь, с — стороны; h — высота, m — медиана; S — площадь; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; р — полупериметр. |
Равносторонний треугольник
- А=В=С=60о
- h=a·√3/2
- R=a·√3/3
- r=a·√3/6
- S=a2·√3/4
Прямоугольный треугольник
- a2+b2=c2; a2=c·a'; b2=c·b'; h2=a'·b'; h=a·b/c
- S=a·b/2
- R=c/2; r=(a+b–c)/2
- sin A=a/c; cos A=b/c; tg A=a/b; ctg A=b/a
Произвольный треугольник
Четыре точки треугольника
- Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести.
- Высоты треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром вписанной окружности.
- Перпендикуляры, проведенные к сторонам треугольника через их середины, пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной окружности.
Средняя линия треугольника
- Параллельна основанию
- Равна половине основания
- Делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину треугольника с какой-либо точкой основания.
Определение вида треугольника по его сторонам
Если с – наибольшая из трех сторон треугольника, то
- с2<a2+b2 – треугольник остроугольный
- с2=a2+b2– треугольник прямоугольный
- с2>a2+b2 – треугольник тупоугольный
Свойства
- S=c·hc/2; S=p·r; S=a·b·sin C/2; S=√(p·(p-a)·(p-b)·(p-c))
- R=a/2·sin A; R=a·b·c/4·S; r=S/p
- a2=b2+c2–2·a·b·cos A
- a/sin A=b/sin B=c/sin C=2·R
Теоремы о площади
- Если два треугольника подобны, то их площади относится как квадраты соответствующих сторон.
- Если у двух треугольников равны основания, то площади относятся как соответствующие высоты.
- Если одна высота одного треугольника равна одной высоте другого треугольника, то площади относятся как стороны, к которым проведены эти высоты.