логотип

Теорема Фалеса

Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсекаемые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне (см. рисунок)

Докажем, что:

OA/OA1=AB/AB1=BC/BC1=k

Для доказательства построим отрезки AB2, BC2, ..., параллельные стороне OA1 данного угла с вершиной O. Треугольники OAA1, ABB2, BCC2, ..., подобны в силу равенства соответственных углов при параллельных прямых OA1, AB2, BC2, ... и соответственных углов при параллельных прямых AA1, BB1, CC1, ... Отсюда следует:

OA/OA1= AB/AB2= BC/BC2=k

Поскольку AB2=A1B1, BC2=B1C1, ..., то сформулированное предложение доказано. В частности, если OA=AB =BC, то и OA1=A1B1=B1C1.

Следовательно, если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла, то на ней отсекаются также равные отрезки (теорема Фалеса). 

Обратная теорема Фалеса

Если на одной стороне угла от его вершины отложены отрезки OA, AB, BC, ... и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA1, A1B1, B1C1, ... (OA/OA1= AB/AB2= BC/BC2=k), то прямые AA1, BB1, CC1, ... параллельны.

Действительно, на основе предыдущего свойства ряда равных отношений (см. рисунок):

OB/OB1=(OA + AB)/(OA1 + A1B1)= OA/OA1

Следовательно, треугольники OAA1 и OBB1 гомотетичны и поэтому AA1||BB1. Аналогично AA1||CC1.

В частности, если OA = AB = BC  и OA1 = A1B1 = B1C1, то прямые AA1, BB1, CC1 параллельны. (Обратная теорема Фалеса)



Оставить комментарий:

  • влад

    Написано 2012-05-29 17:34:32

    клаасссс

  • shaten

    Написано 2012-05-27 18:32:22

    спасибо





Сайт создан группой Elegy