Пропорциональные отрезки

Предположим мы имеем ряд равных отношений:

a₁/b₁=a₂/b₂=a₃/b₃=...=a_i/b_i=k

значит выходит, что a_i=k·b_i

Пусть t₁, t₂, ... , t_n — любые действительные числа, при которых t₁·b₁ + t₂·b₂ + ... + t_n·b_n ≠0. Тогда выходит, t_n·a_n=k·t_n·b_n

Если сложить эти равенства, то получим:

t₁·a₁ + t₂·a₂ + ... + t_n·a_n = k·(t₁·b₁ + t₂·b₂ + ... + t_n·b_n),

следовательно

(t₁·a₁ + t₂·a₂ + ... + t_n·a_n)/(t₁·b₁ + t₂·b₂ + ... + t_n·b_n)=k=a_i/b_i

Данное свойство можно эффективно использовать в задачах. Например, если a_i и b_i — длины соответственных сторон двух подобных многоугольников, то это равенство означает, что их периметры относятся как соответственные стороны.