Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани – треугольники, которые имеют общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Правильная пирамида – пирамида, в которой основание является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Компоненты пирамиды

S – вершина пирамиды; AВС – основание пирамиды; SH – высота пирамиды; α — угол между боковым ребром AS и плоскостью основания; SD — апофема, т.е. высота боковой грани пирамиды, проведенная из ее вершины. β — угол между гранью SBC и плоскостью основания (угол между апофемой и ее проекцией на плоскость основания).

Свойства пирамиды

• Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.

Если все боковые ребра равны, то:

• около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
• также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

• в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
• высоты боковых граней равны;
• площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Высоты пирамиды

• Если боковые ребра равны, то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.
• Если апофемы пирамиды равны, то высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание окружности.
• Если одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит этой боковой грани.
• Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды является общее боковое ребро этих двух боковых граней.

Вычисление объема и площади пирамиды

1. Объём пирамиды: V=S_oc·H/3, где S_oc – площадь основания, H – высота пирамиды
2. Объём усеченной пирамиды:  V=(S_oc1+S_oс2+√S_oc1·S_oс2)·H/3
3. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней: S_b=∑S_i
4. Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания: S=S_b+S_oc
5. Если все боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания угол α: S_b=S_oc/cos α