Пирамида
Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани – треугольники, которые имеют общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.
Правильная пирамида – пирамида, в которой основание является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.
Компоненты пирамиды
![]() |
S – вершина пирамиды; |
Свойства пирамиды
- Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.
Если все боковые ребра равны, то:
- около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
- также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
- в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- высоты боковых граней равны;
- площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Высоты пирамиды
- Если боковые ребра равны, то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.
- Если апофемы пирамиды равны, то высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание окружности.
- Если одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит этой боковой грани.
- Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды является общее боковое ребро этих двух боковых граней.
Вычисление объема и площади пирамиды
- Объём пирамиды: V=Soc·H/3, где Soc – площадь основания, H – высота пирамиды
- Объём усеченной пирамиды: V=(Soc1+Soс2+√Soc1·Soс2)·H/3
- Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней: Sb=∑Si
- Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания: S=Sb+Soc
- Если все боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания угол α: Sb=Soc/cos α