логотип

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани – треугольники, которые имеют общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д.

Правильная пирамида – пирамида, в которой основание является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Компоненты пирамиды

S – вершина пирамиды;
AВС – основание пирамиды;
SH – высота пирамиды;
α — угол между боковым ребром AS и плоскостью основания;
SD — апофема, т.е. высота боковой грани пирамиды, проведенная из ее вершины.
β — угол между гранью SBC и плоскостью основания (угол между апофемой и ее проекцией на плоскость основания).

Свойства пирамиды

  • Все диагонали пирамиды принадлежат её граням.

Если все боковые ребра равны, то:

  • около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
  • также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:

  • в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
  • высоты боковых граней равны;
  • площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.

Высоты пирамиды

  • Если боковые ребра равны, то высота пирамиды проходит через центр описанной около основания окружности.
  • Если апофемы пирамиды равны, то высота пирамиды проходит через центр вписанной в основание окружности.
  • Если одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды принадлежит этой боковой грани.
  • Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды является общее боковое ребро этих двух боковых граней.

Вычисление объема и площади пирамиды

  1. Объём пирамиды: V=Soc·H/3, где Soc площадь основания,высота пирамиды
  2. Объём усеченной пирамиды:  V=(Soc1+Soс2+√Soc1·Soс2)·H/3
  3. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней: Sb=∑Si
  4. Полная поверхность — это сумма боковой поверхности и площади основания: S=Sb+Soc
  5. Если все боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания угол α: Sb=Soc/cos α 

Оставить комментарий:





    Сайт создан группой Elegy