логотип

Измерение углов в окружности

Как мы знаем центральный угол измеряется соответствующей ему дугой окружности, а вписанный — половиной дуги, высекаемой на окружности сторонами угла и заключенной внутри угла.

Давайте, рассмотрим еще три случая взаимного расположения угла и окружности.

1. Угол с вершиной внутри окружности

Пусть вершина S угла ASB лежит внутри окружности, а его стороны пересекают окружность в точках A и(рисунок 1).

 

Дорисуем продолжение к лучам SA и SB, таким образом, чтобы они пересекали окружность в точках C и D. Теперь найдем зависимость между градусной мерой угла ASB и градусными мерами дуг AB и CD. Так как угол ASB является внешним углом треугольника SBC, то используя теорему о внешнем угле треугольника получим:

∠ASB = ∠ACB + ∠DBC.

Эти углы можно измерить соответственно половинами дуг νAB и νCD (где    ν  дуга), следовательно:

 ∠ASB = 1/2·(νAB + νCD).

Таким образом, угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями.

Другое доказательство этой теоремы можно получить, если провести хорду BE, параллельную хорде AC (рисунок 2).

Тогда:

∠ASB = ∠DBE = 1/2·(νDE) = 1/2·(νDC +νCE).

Дуги AB и CE равны, так как они симметричны относительно диаметра окружности, перпендикулярного хордам AC и BE.

2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности

Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.

Пусть стороны угла ∠ASB пересекают окружность второй раз в точках C и D (рисунок 3).

Тогда для внешнего угла ∠CBD треугольника SBC получим:

∠CBD =∠ASB +∠ACB

Исходя из этого, переходя к дугам νCD и νAB, на которые опираются вписанные углы ∠CBD и ∠ACB, получаем доказываемое соотношение:

∠ASB = 1/2·(νCD − νAB).

3. Угол между секущей и касательной

Данный угол может быть на окружности или вне ее (рисунок 4).

                          

В первом случае, если угол ASB острый, то он равен разности прямого угла BSD и вписанного угла ASD. Следовательно:

∠ASB=90°νDА/2= νSD/2 νDА/2=νSА/2

Если угол ASB тупой, то аналогичными рассуждениями получим тот же результат.

Значит, угол с вершиной на окружности между ее хордой и касательной измеряется половиной дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла.

Исходя из доказанного, а именно ∠SАB= νАB/2 для второго случая получим:

∠ASB=∠ABC ∠SAB= (νAC − νAB)/2

Таким образом, если секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла.

Оставить комментарий:

  • Аля

    Написано 2012-05-27 14:59:04

    Огромное спасибо, всё очень хорошо объяснено.

  • Илья

    Написано 2012-03-14 10:18:59

    Спасибо. Очень помогло при решении задачи.





Сайт создан группой Elegy