Примеры задач

Задача 1.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность (рисунок 1). Угол между прямыми AB и CD равен α, а угол между прямыми AD и BC равен β. Найти углы данного четырехугольника.

Решение.

Обозначим градусные меры дуг AB, BC, CD и DA через x, y, z и t соответственно. Пусть γ — угол между диагоналями AC и BD.

Тогда получается, что x + y + z + t = 360.

На основании теорем получим:

α = (t − y)/2

β = (x − z)/2

γ =  (y + t)/2
Сложением либо вычитанием этих равенств находим:

t = a + g, y = g − a, x = 180 + b − g, z = 180 − b − g.

Далее получаем окончательно:

∠BAD = (y + z)/2 = (180 − α − β)/2

∠ABC = (z + t)/2 = (180 + α − β)/2

∠BCD = (x + t)/2 = (180 + α + β)/2

∠CDA = (x + y)/2 = (180 − α + β)/2

Задача 2.

В треугольнике ABC отрезок A₁B₁, соединяющий основания высот AA₁ и BB₁, виден из середины стороны AB под углом α (рисунок 2). Найти величину угла C этого треугольника.

Решение

Так как из точек A₁ и B₁ отрезок AB виден под прямыми углами, значит они лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно:

∠С = ∠(^vAB − ^vA₁B₁)/2 = (180º − α)/2 = 90º − α/2