Примеры задач
Задача 1.
Четырехугольник ABCD вписан в окружность (рисунок 1). Угол между прямыми AB и CD равен α, а угол между прямыми AD и BC равен β. Найти углы данного четырехугольника.
Решение.
Обозначим градусные меры дуг AB, BC, CD и DA через x, y, z и t соответственно. Пусть γ — угол между диагоналями AC и BD.
Тогда получается, что x + y + z + t = 360.
На основании теорем получим:
α = (t − y)/2
β = (x − z)/2
γ = (y + t)/2
Сложением либо вычитанием этих равенств находим:
t = a + g, y = g − a, x = 180 + b − g, z = 180 − b − g.
Далее получаем окончательно:
∠BAD = (y + z)/2 = (180 − α − β)/2
∠ABC = (z + t)/2 = (180 + α − β)/2
∠BCD = (x + t)/2 = (180 + α + β)/2
∠CDA = (x + y)/2 = (180 − α + β)/2
Задача 2.
В треугольнике ABC отрезок A1B1, соединяющий основания высот AA1 и BB1, виден из середины стороны AB под углом α (рисунок 2). Найти величину угла C этого треугольника.
Решение
Так как из точек A1 и B1 отрезок AB виден под прямыми углами, значит они лежат на окружности с диаметром AB. Следовательно:
∠С = ∠(vAB − vA1B1)/2 = (180º − α)/2 = 90º − α/2