логотип

Четырехугольник

Четырёхугольник  – это геометрическая фигура, состоящая из четырёх точек (вершин), не лежащих на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.

Выпуклый четырехугольник

  1. Площадь: S = d1·d2·sin φ/2, где  d1, d диагонали; φ – угол между ними.
    Если в четырехугольник можно вписать окружность, то S=p·r, где р  полупериметр, r  радиус вписанной окружности.
  2. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны. Центром вписанной окружности служит точка пересечения биссектрис.
  3. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180º. Центром описанной окружности служит точка пересечения перпендикуляров, проведенных к сторонам четырехугольника через их середины.

Параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;

a, b  стороны; d1, d2 диагонали; A, B, C, D – углы

φ  угол между диагоналями; h  высота.

  1. Соотношение между сторонами и диагоналями: d12+d22=2·a2+2·b2
  2. Площадь: S=b·hb=a·b·sin C=d1·d2·sin φ/2

Прямоугольник

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90º)

  1. Стороны прямоугольника являются одновременно его высотами.
  2. Площадь: S=a·b.
  3. Периметр: P=2·(a+b)
  4. Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон (теорема Пифагора):  d12=d22=a2+b2
  5. Около любого прямоугольника можно описать окружность, причем диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности.

Квадрат

Квадрат – параллелограмм, у которого все стороны и углы равны.

  1. Радиус вписанной окружности: r=a/2
  2. Радиус описанной окружности: R=a·√2/2
  3. Периметр: P=4·a=8·r
  4. Площадь: S=a2=4·r2

Ромб

Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;

  1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.
  2. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
  3. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4: d12+d22=4·a2
  4. Площадь: S=d1·d2/2=2·a·r

Трапеция

Трапеция – четырёхугольник, у которого только одна пара противолежащих сторон параллельна. Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.
Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

  1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  2. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований.
  3. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  4. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
  5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон
  6. Площадь: S=(a+b)·h/2=p·r=d1·d2·sin φ/2



Оставить комментарий:





    Сайт создан группой Elegy