Векторное исчисление

Вектор – это направленный отрезок, который соединяет две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху ставят чёрточку. 

Нулевой вектор – это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают.

Длина (модуль) вектора a  –  это длина отображающего отрезок и обозначается |a|.

Если направленные отрезки a и b лежат на параллельных прямых, то векторы называются коллинеарными и обозначаются a||b. 

Если  три и более векторов лежат в одной плоскости, то они называются компланарными.

Основные действия с векторами:

• Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически следующим образом:

1. параллельно перенести один из векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;
2. построить результирующий вектор, идущий от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора

• Вычитание векторов. Данная операция сводится к сложению векторов путём замены вычитаемого вектора на противоположный.

 Законы сложения векторов

1. a + b = b + a
2. ( a + b ) + c = a + ( b + c )
3. a + 0 = a
4. a + (– a ) = 0 .
   
   Законы умножения вектора на число m.

1. 1 · a = a , 0 · a = 0 , ( –1 ) · a = – a
2. m ·  a = a · m , |m·a|=|m|·|a|, m·(n·a)=(m·n)·a
3. (m+n)·a = m·a+n·a 
4. m·( a+b) = m·a + m·b

• Скалярное произведение векторов. Угол между ненулевыми векторами – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек.

Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними, т.е (а, b)=|a|·|b|·cos(a^b)

Законы скалярного произведения:

1. (a,b)=(b,a)
2. (m a,b)=m(a,b), где m – любое число
3. (a+b,c)=(a,c)+(b,c).