Векторное исчисление
Вектор – это направленный отрезок, который соединяет две точки в пространстве или в плоскости. Векторы обозначаются либо маленькими буквами, либо начальной и конечной точками. Сверху ставят чёрточку.
Нулевой вектор – это вектор, у которого начальная и конечная точки совпадают.
Длина (модуль) вектора a – это длина отображающего отрезок и обозначается |a|.
Если направленные отрезки a и b лежат на параллельных прямых, то векторы называются коллинеарными и обозначаются a||b.
Если три и более векторов лежат в одной плоскости, то они называются компланарными.
Основные действия с векторами:
- Сложение векторов. Так как векторы - это направленные отрезки, то их сложение может быть выполнено геометрически следующим образом:
- параллельно перенести один из векторов таким образом, чтобы его начальная точка совпала с конечной точкой второго вектора;
- построить результирующий вектор, идущий от начальной точки неподвижного вектора к конечной точке перенесённого вектора
- Вычитание векторов. Данная операция сводится к сложению векторов путём замены вычитаемого вектора на противоположный.
Законы сложения векторов
- a + b = b + a
- ( a + b ) + c = a + ( b + c )
- a + 0 = a
- a + (– a ) = 0 .
Законы умножения вектора на число m.
- 1 · a = a , 0 · a = 0 , ( –1 ) · a = – a
- m · a = a · m , |m·a|=|m|·|a|, m·(n·a)=(m·n)·a
- (m+n)·a = m·a+n·a
- m·( a+b) = m·a + m·b
- Скалярное произведение векторов. Угол между ненулевыми векторами – это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек.
Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними, т.е (а, b)=|a|·|b|·cos(a^b)
Законы скалярного произведения:
- (a,b)=(b,a)
- (m a,b)=m(a,b), где m – любое число
- (a+b,c)=(a,c)+(b,c).